El teorema de Arrow y su importancia para el control del Estado

Christian Guzmán Napurí
Por: Christian Guzmán Napurí
Docente de la Maestría en Derecho Administrativo Económico

 

En 1972, un importante teórico llamado Keneth Arrow obtiene el Premio Nobel de Economía, entre otras razones, por enunciar y demostrar el famoso teorema que lleva su nombre (también conocido en términos genéricos como Teorema de la Imposibilidad), que a la vez resuelve y explica una conocida paradoja matemática – y paradoja política, si se quiere - denominada en general Paradoja de Condorcet, por el matemático homónimo que fue en su momento quien la identificó.

El Marqués de Condorcet, famoso matemático, humanista y revolucionario, que elaboró sus teorías durante la Revolución Francesa, estableció que una forma eficiente de elección política era la de permitir que los candidatos se eliminaran mutuamente – de manera similar a como ocurre respecto a los equipos deportivos en un campeonato – de tal manera que aquel que quedase al final debía ser el más idóneo de todos. Esta propuesta es elaborada al notar dicho matemático que la elección realizada de manera simultánea, cuando existían tres o más candidatos, no necesariamente arrojaba como resultado aquel que la mayoría deseaba, que es un hecho que él también había podido demostrar de manera directa en los procedimientos de elección.

Sin embargo, Condorcet notó que la propuesta de elección en cuestión carecía de transitividad. Es decir, el hecho que primus le ganase a secundus, y éste a su vez le ganase a tercius en una elección, no garantizaba en absoluto que primus a su vez le pueda ganar a tercius[1]. A este hecho se le ha denominado, en general, Paradoja de Condorcet.


El teorema de Arrow y sus aplicaciones en el régimen político
Esta paradoja la vemos en muchos juegos. La encontramos por ejemplo en el deporte, donde el hecho que un deportista le gane a otro, y este a un tercero, no asegura que el primero le gane al tercero. Cuando ocurre en el ámbito futbolístico se arguye siempre que el futbol “no tiene lógica”, lo cual es evidentemente erróneo. Lo que ocurre es que el deporte, en general, carece de transitividad.


El teorema de Arrow

Ahora bien, de acuerdo al Teorema de Arrow, la paradoja en cuestión no lo es tanto. El teorema antes mencionado se enuncia señalando que no existe una regla de elección que garantice que se den resultados eficientes en todas las circunstancias. En consecuencia, ninguna elección en la cual existan más de dos candidatos y un orden de preferencias entre ellos respecto a cada uno de los votantes, se encuentra libre de situaciones como la observada por Condorcet[2].

La Paradoja de Condorcet y el Teorema de la Imposibilidad de Arrow presuponen la existencia de la regla de la mayoría y el hecho de que se pretenda obtener resultados eficientes en términos de Pareto, a lo cual nos hemos referido en una entrega anterior[3]. El Teorema en general se define de otra manera señalando que no es posible que se cumpla la regla de Pareto y la regla de transitividad, de manera simultánea, sin que ninguno de los electores se convierta en un dictador[4], es decir, que imponga su decisión a los demás. Es preciso señalar que esta proposición, dada su importancia, ha sido usada varias veces por nosotros para sustentar diversas afirmaciones en varias áreas de análisis en materia constitucional[5].

 

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En materia de intervención estatal en la economía


Es así que el Teorema de Arrow tiene múltiples aplicaciones en la teoría del bienestar y en las teorías de elección pública que hemos venido estudiando, puesto que demuestra las dificultades que existen para determinar funciones de bienestar social que puedan satisfacer a todos de manera simultánea, siendo un importante limitante para el Estado Social, al cual nos hemos referido anteriormente[6].

Como resultado, diversos países del mundo están reduciendo su participación relativa en gran parte de tareas originalmente consideradas como propias del Estado, lo cual permite establecer mecanismos de corrección con un mejor criterio. El citado teorema demuestra las dificultades que existen para que se puedan determinar funciones de bienestar social que puedan satisfacer a la colectividad empleando la regla de la mayoría. Con lo cual el Estado puede intervenir en el mercado sólo hasta cierto punto, a partir del cual dicha intervención es ineficiente.

La constatación efectuada por Arrow respecto a la dificultad para tomar decisiones racionales a través de la regla de la mayoría justifica a todas luces la necesidad de reducir el rol del Estado en la regulación de la Sociedad y la economía en su conjunto[7]. Dado que las decisiones tomadas al interior de un Parlamento corren el riesgo de no estar siempre conformes con el interés general, resulta necesario establecer mecanismos a través de los cuales sean los individuos y el mercado los que generen las decisiones, generando los incentivos adecuados y eliminando o corrigiendo las distorsiones que se generen, siendo la actuación del Estado más bien subsidiaria en este ámbito.

 

El teorema de Arrow y sus aplicaciones en el régimen político
En el régimen político

Pero las aplicaciones más interesantes del Teorema de Arrow son aquellas relacionadas con el funcionamiento del régimen político. Por un lado, en materia electoral, cuando existen diversas posibilidades en una elección, es especialmente relevante el mecanismo que se emplee, a fin de obtener el resultado que sea el más eficiente. Es decir, la regla de la elección puede ser determinante para que el electorado escoja la mejor opción.

Por otro lado, el Teorema de Arrow pareciera corroborar la eficiencia de los esquemas políticos bipartidistas, en los cuales resulta sustancialmente difícil que se generen paradojas como las de Condorcet, puesto que las mismas requieren necesariamente la existencia de más de dos candidatos. El bipartidismo, en consecuencia, satisface condiciones paretianas de eficiencia al no ser necesaria la aplicación de criterios de transitividad[8].

En consecuencia, en una elección en un contexto multipartidista el ganador de la misma depende en gran medida de la regla de elección que se establezca, De hecho, mecanismos distintos de elección podrían generar, ante las mismas preferencias electorales, distintos resultados. En el caso de esquemas bipartidistas en sistemas parlamentarios el sistema de elección resulta ser indiferente, puesto que las preferencias del electorado siempre se van a ver reflejadas en el resultado de la elección.


El teorema de Arrow y sus aplicaciones en el régimen político
Ahora bien, debe tenerse mucho cuidado con generalizar esta afirmación a la elección del presidente en los sistemas presidenciales. En algunos casos, como en el particular sistema de elección norteamericano, el mecanismo que se emplee podría modificar el resultado de la elección. De hecho, como bien se sabe, en varios casos ha ocurrido que el Presidente en Estados Unidos ha sido elegido como tal no obstante no tener mayoría en el voto popular como resultado de la elección indirecta a través del Colegio Electoral. El hecho de preferir la elección directa a la elección indirecta en el caso norteamericano modificaría sustancialmente el resultado, en especial cuando las diferencias de apoyo popular entre los candidatos no son muy grandes[9].

Así, en el contexto del sistema de segunda vuelta propio de la mayor parte de los sistemas presidenciales, en los cuales puede ocurrir que quien obtenga el poder no sea necesariamente aquel que fuera preferido por la mayoría. La razón de ello es muy clara. La ausencia de transitividad en las preferencias del electorado permite que en determinados supuestos pase a segunda vuelta un candidato por la cual una gran mayoría no votaría, pero que sin embargo obtuvo suficiente votación como para asegurar su participación en ella.

Finalmente, el hecho de recurrir a sistemas de segunda vuelta puede dar el triunfo a un candidato más bien minoritario, efecto que es distinto al que se generaría si es que la elección en segunda vuelta fuera determinada por el Congreso o si más bien bastara con la elección en primera vuelta[10]. Esta situación empeora si es que el mecanismo de elección de la representación congresal es proporcional, puesto que es perfectamente posible que quien gobierne no tenga siquiera mayoría relativa, mucho menos absoluta. Ello genera la figura del gobierno dividido, que hemos padecido recientemente en nuestro país, con los resultados bien conocidos.

 

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[1] GARCIA COBIAN, Ramón – “Una versión didáctica del teorema de la Imposibilidad de Arrow”. En: Económica No.15.  Lima: Departamento de Economía PUCP, 1985, p. 115.

[2] ARROW, Keneth – Social Choice and Individual Values. New York: Cowles Foundation, 1966, p. 59.

[3] https://blogposgrado.ucontinental.edu.pe/el-postulado-de-la-eficiencia-en-el-derecho-economico

[4] Para una rigurosa y a la vez pedagógica demostración matemática del Teorema de Arrow: GARCIA COBIAN, Ramón – Op. cit., p. 120 y ss.

[5] Sobre el particular: GUZMAN NAPURI, Christian - La Constitución Política: Un análisis funcional. Lima: Gaceta Jurídica, 2015, p.136, 137.

[6] https://blogposgrado.ucontinental.edu.pe/el-estado-social-y-sus-principales-problematicas

[7] BUCHANAN, James y TULLOCK, Gordon – El Cálculo del Consenso, Madrid: Espasa Calpe, 1980, pp. 380-381.

[8] A esta afirmación Arrow la denomina Teorema de la posibilidad para dos alternativas (Possibility Theorem for Two Alternatives), afirmando que el mismo es el sustento lógico del sistema bipartidista angloamericano. ARROW, Keneth – Op, cit., p. 48.

[9] FLORES, Imer B. – “Gobernabilidad y Representatitividad: Hacia un sistema democrático electoral mayoritario y proporcional”. En: Memoria del VII Congreso Iberoamericano de Derecho Constitucional. México: UNAM, 2002, p. 223.

[10] Para un análisis en este punto: NOHLEN, Dieter – “Sistemas electorales presidenciales y parlamentarios”. En: NOHLEN, Dieter – Tratado de derecho Electoral comparado de América Latina. México: Fondo de Cultura Económica, 2007, p. 330 y ss.

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